Question

6．已知复数z=（2+i）m²-$\frac{6m}{1-i}-2（{1-i}）（{m∈R}）$．
（1）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；
（2）若z在复平面内对应的点在第二、四象限角平分线上，求|z|．

Answer 1

分析 （1）z=（2+i）m²-3m（1+i）-2（1-i）=（2m²-3m-2）+（m²-3m+2）i，当实部等于0，虚部不等于0时，列出方程组，求解即可得答案；
（2）当2m²-3m-2=-（m²-3m+2），即m=0或m=2时，z为复平面内第二、第四象限角平分线上的点对应的复数，分类当m=0和m=2时，求出|z|即可．

解答 解：z=（2+i）m²-3m（1+i）-2（1-i）=（2m²-3m-2）+（m²-3m+2）i，
（1）当$\left\{\begin{array}{l}{2{m}^{2}-3m-2=0}\\{{m}^{2}-3m+2≠0}\end{array}\right.$，即 $m=-\frac{1}{2}$时，z为纯虚数；
（2）当2m²-3m-2=-（m²-3m+2），即m=0或m=2时，z为复平面内第二、第四象限角平分线上的点对应的复数，
若m=0，$z=-2+2i，|z|=2\sqrt{2}$，
若m=2，z=0，|z|=0，
∴$|z|=2\sqrt{2}$或|z|=0．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．