Question

9．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AB的中点，F在CC₁上，且CF=2FC₁，点P是侧面AA₁D₁D（包括边界）上一动点，且PB₁∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• B． [0，1]
• C． [$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{10}}{3}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{13}}{3}$]

Answer 1

分析 如图所示，作出平面MNQB₁∥平面DEF，AQ₁=2AQ，DN₁=2ND，P的轨迹是线段QN，P在Q处，tan∠ABP=$\frac{1}{3}$，P在N处，tan∠ABP=$\frac{\sqrt{4+9}}{3}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，即可得出结论．

解答 解：如图所示，作出平面MNQB₁∥平面DEF，则AQ₁=2AQ，DN₁=2ND，
∵PB₁∥平面DEF，∴P的轨迹是线段QN．
P在Q处，tan∠ABP=$\frac{1}{3}$，P在N处，tan∠ABP=$\frac{\sqrt{4+9}}{3}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
故选D．

点评 本题考查线面、面面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．