Question

4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个棱长为4的正方体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{5}{8}$
• C． $\frac{5}{12}$
• D． $\frac{7}{12}$

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可知该几何体是由一个棱长为4的正方体毛坯切削得到，该几何体是由两个正棱台对接可得，求出原来正方体的体积和该该几何体的体积，可得切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值．

解答 解：由题意，该几何体是由一个棱长为4的正方体毛坯切削得到，该几何体是由两个全等的正棱台对接可得，

正棱台的下底为正方形，边长为4，上底为正方形，边长为2，高h为2，
可得：正棱台的体积V₁=$\frac{1}{3}$h（S_上+S_下+$\sqrt{{S}_{下}•{S}_{上}}$）=$\frac{1}{3}×2$×（20+$\sqrt{16×4}$）=$\frac{56}{3}$
∴该几何体的体积V=$\frac{112}{3}$
棱长为4的正方体的体积V_正=4×4×4=64．
切削掉部分的体积V′=64-$\frac{112}{3}$=$\frac{80}{3}$．
切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值，即$\frac{80}{3}：64$=5：12，即$\frac{5}{12}$．
故选C

点评 本题考查了正方体的体积计算和正棱台的体积的计算，属于基础题．