Question

6．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）由图归纳出f（n）与f（n-1）的关系式，并求出f（n）表达式；
（2）求证：$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$$＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）总结一般性的规律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用叠加法，可求f（n）的表达式；
（2）根据通项特点，利用裂项法求和，即可得到解决．

解答 （1）解：∵f（2）-f（1）=4=4×1，f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式规律得出f（n+1）-f（n）=4n．
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4•（n-3），…
f（2）-f（1）=4×1，∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1]=2（n-1）•n，∴f（n）=2n²-2n+1（n≥2），又n=1时，f（1）也适合f（n）．∴f（n）=2n²-2n+1．
（2）证明：当n≥2时，$\frac{1}{f（n）-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2n}$＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，（2）问考查了裂项法求数列的和，属于中档题．