Question

16．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}π}{12}$
• B． $\frac{\sqrt{3}π}{24}$
• C． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{12}$
• D． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$

Answer 1

分析 根据题意，记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件B为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，先求得边长为4的等边三角形的面积，再计算事件B构成的区域面积，由几何概型可得P（B），进而由对立事件的概率性质，可得答案．

解答 解：记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件B为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，
边长为4的等边三角形的面积为S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=4$\sqrt{3}$，
则事件B构成的区域面积为S（B）=3×$\frac{π}{3}×\frac{1}{2π}$×π×1²=$\frac{π}{2}$，
由几何概型的概率公式得P（B）=$\frac{\sqrt{3}π}{24}$，
P（A）=1-P（，B）=1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$，
故选：D．

点评 本题考查几何概型，涉及对立事件的概率性质；解题时如需要计算不规则图形的面积，可用间接法．