Question

7．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），sinα=$\frac{3}{5}$．
（1）求sin（$\frac{π}{4}$+α）的值；      
（2）求cos（$\frac{π}{6}$-2α）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．
（2）利用二倍角公式可求sin2α，cos2α的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．

解答 （本小题满分12 分）
解：（1）∵$α∈（{\frac{π}{2}\;，\;π}）$，$sinα=\frac{3}{5}$，
∴$cosα=-\sqrt{1-{{sin}^2}α}=-\frac{4}{5}$，…（2分）
∴$sin（{\frac{π}{4}+α}）=sin\frac{π}{4}cosα+cos\frac{π}{4}sinα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（cosα+sinα）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．…（6分）
（2）∵$sin2α=2sinαcosα=-\frac{24}{25}，cos2α={cos^2}α-{sin^2}α=\frac{7}{25}$，…（8分）
∴$cos（\frac{π}{6}-2α）=cos\frac{π}{6}cos2α+sin\frac{π}{6}sin2α$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{7}{25}+\frac{1}{2}×（-\frac{24}{25}）=\frac{{7\sqrt{3}-24}}{50}$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．