Question

17．已知过原点的直线l₁与直线l₂：x+3y+1=0垂直，圆C的方程为x²+y²-2ax-2ay=1-2a²（a＞0），若直线l₁与圆C交于M，N两点，则当△CMN的面积最大时，圆心C的坐标为（　　）

• A． $（{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$
• B． $（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$
• D． （1，1）

Answer 1

分析 当△CMN的面积最大时，CM⊥CN，圆心C到直线l₁的距离为$\frac{|3a-a|}{\sqrt{9+1}}$=1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求出圆心C的坐标．

解答 解：由题意，直线l₁的方程为3x-y=0，圆C的方程为x²+y²-2ax-2ay=1-2a²的圆心坐标为（a，a），半径为1，
当△CMN的面积最大时，CM⊥CN，圆心C到直线l₁的距离为$\frac{|3a-a|}{\sqrt{9+1}}$=1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴圆心C的坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），
故选：A．

点评 本题考查直线与直线、直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．