Question

9．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，$sinA=\sqrt{3}sinC$，$b=\sqrt{7}$．
（Ⅰ）若$B=\frac{π}{6}$，证明：sinB=sinC；
（Ⅱ）若B为钝角，$cos2B=\frac{1}{2}$，求AC边上的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理可知$a=\sqrt{3}c$．余弦定理求出c，即可证明；
（Ⅱ）先求出B，再利用余弦定理和正弦定理求出c，a，sinC，即可求出AC边上的高．

解答 解：（Ⅰ）依题意，由正弦定理可知$a=\sqrt{3}c$．
由余弦定理，得$7={（{\sqrt{3}c}）^2}+{c^2}$$-2（{\sqrt{3}c}）•c•cosB$，
故c²=7，$c=\sqrt{7}=b$，故sinB=sinC．
（Ⅱ）因为$cos2B=\frac{1}{2}$，故$2B=\frac{5}{3}π$，故$B=\frac{5}{6}π$．
由余弦定理可得$7={（{\sqrt{3}c}）^2}+{c^2}-$$2（{\sqrt{3}c}）•c•cosB$，解得c=1，$a=\sqrt{3}$．
由正弦定理可得$\frac{1}{sinC}=\frac{{\sqrt{7}}}{{sin\frac{5π}{6}}}$，解得$sinC=\frac{{\sqrt{7}}}{14}$，
故$h=\sqrt{3}sinC=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．