Question

20．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：
（1）cos（-60°）+cos60°+cos180°；     
（2）cos（-27°）+cos107°+cos227°；
（3）cos30°+cos150°+cos270°；     
 （4）cos40°+cos160°+cos280°．
（Ⅰ）试从上述四个式子中选择一个式子，进行化简求值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，请你写出一个以题设的四个式子为特例的一般性命题，并给出证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）选择（1）式计算，可得cos（-60°）+cos60°+cos180°=0；
（Ⅱ）一般性的命题为cos（α-120°）+cosα+cos（α+120°）=0，
利用两角和与差的余弦值公式化简，即可证明命题成立．

解答 解：（Ⅰ）选择（1）式计算，可得
cos（-60°）+cos60°+cos180°=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-1=0；…（4分）
（Ⅱ）一般性的命题为cos（α-120°）+cosα+cos（α+120°）=0；…（6分）
证明：左边=cos（α-120°）+cosα+cos（α+120°）
=cosαcos120°+sinαsin120°+cosα+cosαcos120°-sinαsin120°…（10分）
=-$\frac{1}{2}$cosα+cosα-$\frac{1}{2}$cosα
=0=右边．…（12分）
所以命题成立．

点评 本题考查了简单推理的应用问题，也考查了两角和与差的余弦公式的应用问题，是基础题．