Question

15．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx在（0，1）内存在极小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （1，2）
• C． （1，+∞）
• D． （1，2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 求出f′（x）=0的解，讨论两解的大小关系得出f（x）的单调性，从而求出f（x）的极小值点，列出不等式得出a的范围．

解答 解：f′（x）=2ax-a-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$（x＞0）．
令g（x）=2ax²-（a+2）x+1，
△=（a+2）²-8a=（a-2）²，
令g（x）=0得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{1}{a}$，
（1）若a＜0，则$\frac{1}{a}$$＜\frac{1}{2}$，∴x$＞\frac{1}{2}$时，g（x）＜0，当0＜x$＜\frac{1}{2}$时，g（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递减，
∴f（x）无极小值，不符合题意；
（2）若a＞0，
①当$\frac{1}{2}$$＜\frac{1}{a}$即a＜2时，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增，在（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增，
∴当x=$\frac{1}{a}$时f（x）取得极小值，∴$\frac{1}{a}$＜1，解得1＜a＜2，
②当$\frac{1}{2}＞\frac{1}{a}$即a＞2时，
f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）上单调递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
∴当x=$\frac{1}{2}$时f（x）取得极小值，符合题意．
综上，a的取值范围是（1，2）∪（2，+∞）．
故选D．

点评 本题考查了导数与函数单调性、极值的关系，分类讨论思想，属于中档题．