Question

5．已知a，b，c分别是锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，且$\frac{2b-c}{a}$=$\frac{cosC}{cosA}$．
（1）求A的大小；
（2）当$a=\sqrt{3}$时，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBcosA=sinB，结合sinB≠0，可求$cosA=\frac{1}{2}$，由特殊角的三角函数值即可得解A的值．
（2）由正弦定理得b=2sinB，c=2sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得b+c=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），由$\left\{{\begin{array}{l}{A=\frac{π}{3}}\\{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{2}＜A+B＜π}\end{array}}\right.$，可求B的范围，进而可求$\frac{π}{6}$+B的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解其取值范围．

解答 解：（1）由正弦定理，得$\frac{2b-c}{a}=\frac{cosC}{cosA}?\frac{2sinB-sinC}{sinA}=\frac{cosC}{cosA}$，
即2sinBcosA-sinCcosA=cosCsinA，
即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sin（π-B）=sinB，
∵sinB≠0，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）由（1）知$A=\frac{π}{3}，又a=\sqrt{3}$，由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=2$．
∴b=2sinB，c=2sinC，
$\begin{array}{l}∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（A+B）=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB\\=2sinB+\sqrt{3}cosB+sinB=3sinB+\sqrt{3}cosB=2\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）\end{array}$
∵$\left\{{\begin{array}{l}{A=\frac{π}{3}}\\{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{2}＜A+B＜π}\end{array}}\right.$，
∴$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{6}$+B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$3＜b+c≤2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．