Question

13．已知函数f（x）=xlnx．
（1）若f（x）在点（1，0）处的切线方程；
（2）若$g（x）=\frac{f（x）+a}{x}$（a＞0），在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求实数a的值；
（3）证明：当x＞1时，2f（x）＜x²-1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出g（x）的最小值，求出满足条件的a的值即可；
（3）令g（x）=2xlnx-x²+1，（x＞1），根据函数的单调性证明结论即可．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+1，f′（1）=1，
故切线方程是：y-0=x-1，
即x-y-1=0；
（2）g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，g′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
①a≤1时，x-a＞0，
g（x）在[1，e]递增，g（x）_min=g（1）=a=$\frac{3}{2}$（舍），
②1＜a＜e时，令g′（x）＞0，解得：x＞a，令g′（x）＜0，解得：x＜a，
故g（x）在[1，a）递减，在（a，e]递增，
故g（x）_min=g（a）=lna+1=$\frac{3}{2}$，解得：a=$\sqrt{e}$，
③a≥e时，g′（x）＜0，g（x）在[1，e]递减，
g（x）_min=g（e）=1+$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，解得：a=$\frac{e}{2}$（舍），
综上，a=$\sqrt{e}$；
（3）证明：令g（x）=2xlnx-x²+1，（x＞1），
g′（x）=2（lnx-x+1），g″（x）=$\frac{2（1-x）}{x}$＜0，
故g′（x）在（1，+∞）递减，
故g（x）＜g（1）=0，
故g（x）在（1，+∞）递减，
故g（x）＜g（1）=0，
故当x＞1时，2f（x）＜x²-1．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，在一道中档题．