Question

16．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BC=BB₁=1，D为BC上一点，且满足AD⊥C₁D．
（1）求证：截面ADC₁⊥侧面BC₁；
（2）求点B到截面ADC₁距离；
（3）求二面角C-AC₁-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥CC₁，AD⊥C₁D，从而AD⊥平面BC₁，由此能证明截面ADC₁⊥侧面BC₁．
（2）连结A₁C，AC₁，交于E，设B到面ADC₁的距离为d，由${V}_{B-AD{C}_{1}}={V}_{{C}_{1}-ABD}$，能求出点B到截面ADC₁距离．
（3）过C作CF⊥AC₁于F，连结EF，推导出∠CEF是二面角C-AC₁-D的平面角，由此能求出二面角C-AC₁-D的正弦值．

解答 证明：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BC=BB₁=1，D为BC上一点，且满足AD⊥C₁D．
∴AD⊥CC₁，AD⊥C₁D，
∵CC₁∩C₁D=C₁，∴AD⊥平面BC₁，
∵AD?截面ADC₁，∴截面ADC₁⊥侧面BC₁．
解：（2）连结A₁C，AC₁，交于E，
由（1）知AD⊥BC，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BC=BB₁=1，∴△ABC是正三角形，
∴D为BC中点，E为A₁C中点，
∴ED∥A₁B，∴A₁B∥面AC₁D，
设B到面ADC₁的距离为d，
∵${V}_{B-AD{C}_{1}}={V}_{{C}_{1}-ABD}$，∴$\frac{1}{3}{S}_{△AD{C}_{1}}•d=\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•C{C}_{1}$，
解得d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴点B到截面ADC₁距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（3）过C作CF⊥AC₁于F，连结EF，
∵截面ADC₁⊥侧面BC₁，截面ADC₁∩侧面BC₁=C₁D，
∴CF⊥面DAC₁，
又EF为斜线CF在面ADC₁上的射影，
∴FE⊥AC₁，
∴∠CEF是二面角C-AC₁-D的平面角，
在Rt△C₁CD中，由题意得CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠CEF=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴二面角C-AC₁-D的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．