Question

5．（1）解不等式|x+1|+|x+3|＜4；
（2）若a，b满足（1）中不等式，求证：2|a-b|＜|ab+2a+2b|．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可解不等式；
（2）利用作差法，即可证明．

解答 （1）解：当x＜-3时|x+1|+|x+3|=-x-1-x-3=-2x-4＜4，
解得x＞-4．所以-4＜x＜-3．
当-3≤x＜-1时|x+1|+|x+3|=-x-1+x+3=2＜4，
解得-3≤x＜-1
当x≥-1时|x+1|+|x+3|=x+1+x+3=2x+4＜4
解得x＜0所以-1≤x＜0…（4分）
∴不等式|x+1|+|x+3|＜4的解集为{x|-4＜x＜0}；…（6分）
（2）证明：4（a-b）²-（ab+2a+2b）²…（7分）
=a²b²+4a²b+4ab²+16ab…（8分）
=ab（b+4）（a+4）＞0…（9分）
∴4（a-b）²-（ab+2a+2b）²
∴2|a-b|＜|ab+2a+2b|…（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．