Question

15．对于四面体A-BCD，有以下命题：①若AB=AC=AD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；③四面体A-BCD的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A-BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为$\frac{π}{6}$．其中正确的命题是（　　）

• A． ①③
• B． ③④
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 对于①，根据射影的定义即可判断；
对于②，根据三垂线定理的逆定理可知，O是△BCD的垂心，
对于③在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数，
对于④作出正四面体的图形，球的球心位置，说明OE是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积．

解答 解：对于①，设点A在平面BCD内的射影是O，因为AB=AC=AD，所以OB=OC=OD，
则点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心，故①正确；
对于②设点A在平面BCD内的射影是O，则OB是AB在平面BCD内的射影，因为AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可证BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正确；
对于③：如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故③正确
对于④，如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：1；
所以OE为内切球的半径，BF=AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以AE=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
因为BO²-OE²=BE²，
所以（$\frac{\sqrt{6}}{3}$-OE）²-OE²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，
所以OE=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
所以球的表面积为：4π•OE²=$\frac{π}{6}$，故④正确．
故选D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，综合考查了线面、面面垂直的判断与性质，考查了学生的空间想象能力，是中档题．