Question

12．如图1，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是AB边的中点，现把△ACP沿CP折成如图2所示的三棱锥A-BCP，使得AB=$\sqrt{10}$．
（1）求证：平面ACP⊥平面BCP；
（2）求二面角B-AC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在图1中作AE⊥CP，交CO于O，连接OB，计算OC，OA，利用余弦定理计算OB，在图2中由勾股定理的逆定理得出AO⊥OB，结合AO⊥CP即可得出AO⊥平面BCP，从而有平面ACP⊥平面BCP；
（2）可如图建立空间直角坐标系，求得平面ACP的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）和平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，3，1），则所求角的余弦值为|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 证明：（1）在图1中作AE⊥CP，交CO于O，连接OB，
∵AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是AB边的中点，
∴BC=2$\sqrt{3}$，AB=4，AP=$\frac{1}{2}$AB=2，CP=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴△ACP是等边三角形，∴AO=$\sqrt{3}$，OC=$\frac{1}{2}$CP=1，AO⊥CP．
在△OBC中，由余弦定理得OB²=1²+（2$\sqrt{3}$）²-2×$1×2\sqrt{3}$cos30°=7，
在图2中，∵AB=$\sqrt{10}$，∴AO²+OB²=AB²，∴AO⊥OB．
又CP?平面BCP，BC?平面BCP，CP∩BC=C，
∴AO⊥平面BCP，又AO?平面ACP，
∴平面ACP⊥平面BCP．
解：（2）以O为原点，以OC、OE、OA为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示：
则A（0，0，$\sqrt{3}$），C（1，0，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
∴$\overrightarrow{AC}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\sqrt{3}$），
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}z=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，3，1），
∵OE⊥平面ACP，∴$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）为平面ACP的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
由图可知二面角B-AC-P为锐角，
∴二面角B-AC-P的余弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．