Question

17．在正三角形ABC的底边BC上取中点M，在与底边BC相邻的两条边BA和CA上分别取点P、Q，若线段PQ对M的张角∠PMQ为锐角，则称点P、Q亲密．若点P、Q在BA、CA上的位置随机均匀分布，则P、Q亲密的概率称为正三角形的亲密度．则正三角形的亲密度为$\frac{6-3ln3}{4}$．

Answer 1

分析 设AB=BC=CA=2，设BP=x，0≤x≤2，过M作PM的垂线，交AC于R，当Q落在线段AR内部及A点上时，P与Q是亲密的，记AR的长度为y=f（x），由PM²+MR²=RP²及余弦定理得y=$\frac{3x}{1+x}$，由此利用定积分能求出正三角形的亲密度．

解答 解：设AB=BC=CA=2，设BP=x，0≤x≤2，
过M作PM的垂线，交AC于R，当Q落在线段AR内部及A点上时，P与Q是亲密的，
记AR的长度为y=f（x），
由PM²+MR²=RP²及余弦定理得：
（x²-x+1）+[（2-y）²+（2-y）+1]=（2-x）²-（2-x）y+y²，
整理，得：y=$\frac{3x}{1+x}$，
∴正三角形的亲密度为：
$\frac{1}{4}{∫}_{0}^{2}\frac{3x}{1+x}dx$=$\frac{3}{4}$${∫}_{0}^{2}\frac{x}{1+x}dx$=$\frac{3}{4}$[${∫}_{0}^{2}（1-\frac{1}{1+x}）dx$]=$\frac{3}{4}$[x-ln（x+1）]${|}_{0}^{2}$=$\frac{6-3ln3}{4}$．
故答案为：$\frac{6-3ln3}{4}$．

点评 本题考查正三角形的亲密度的求法，涉及到正三角形性质、函数、定积分等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．