Question

9．已知点A、B、C的坐标分别是（4，0），（0，4），（3cosα，3sinα），且$α∈（{\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}}）$．若$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，求$\frac{{2{{sin}^2}α-sin2α}}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 利用两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，以及二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{AC}=（{3cosα-4，3sinα}）$，$\overrightarrow{BC}=（{3cosα，3sinα-4}）$．
∵$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，∴（3cosα-4）•3cosα+3sinα•（3sinα-4）=0，∴$sinα+cosα=\frac{3}{4}$，
得$sin2α=-\frac{7}{16}$=2sinαcosα，$sin（{α+\frac{π}{4}}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{8}$．
又$α∈（{\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}}）$，∴sinα-cosα=$\sqrt{{（sinα-cosα）}^{2}}$=$\sqrt{1-2sinαcosα}$=$\frac{\sqrt{23}}{4}$，
  且$α+\frac{π}{4}∈（{\frac{3π}{4}，π}）$，$cos（α+\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{46}}}{8}$．
∴$\frac{{2{{sin}^2}α-sin2α}}{1+tanα}=\frac{2sinα（sinα-cosα）}{{\frac{cosα+sinα}{cosα}}}$=$\frac{2sinα•cosα（sinα-cosα）}{cosα+sinα}$
=$\frac{sin2α（sinα-cosα）}{{\sqrt{2}sin（{α+\frac{π}{4}}）}}$=$\frac{-\frac{7}{16}•\frac{\sqrt{23}}{4}}{\sqrt{2}•\frac{3\sqrt{2}}{8}}$=$-\frac{{7\sqrt{23}}}{48}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，二倍角公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．