Question

11．已知两曲线f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax与g（x）=2a²lnx+b有公共点，且在该点处有相同的切线，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（　　）

• A． e${\;}^{\frac{1}{2}}$
• B． 2e${\;}^{\frac{1}{2}}$
• C． e${\;}^{\frac{2}{3}}$
• D． $\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$

Answer 1

分析 求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，解得切点的横坐标，利用a的表达式来表示b，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值即得．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax与g（x）=2a²lnx+b，
设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同、
f′（x）=x+a，g′（x）=$\frac{2{a}^{2}}{x}$，
由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即$\frac{1}{2}$x₀²+ax₀=2a²lnx₀+b，x₀+a=$\frac{2{a}^{2}}{{x}_{0}}$，
得x₀=a或x₀=-2a（舍去），
即有b=$\frac{1}{2}$a²+a²-2a²lna=$\frac{3}{2}$a²-2a²lna．
令h（t）=$\frac{3}{2}$t²-2t²lnt（t＞0），
则h′（t）=t（1-4lnt）、
于是当t（1-4lnt）＞0，即0＜t＜e${\;}^{\frac{1}{4}}$时，h′（t）＞0；
当t（1-4lnt）＜0，即t＞e${\;}^{\frac{1}{4}}$时，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，e ${\;}^{\frac{1}{4}}$）为增函数，在（e${\;}^{\frac{1}{4}}$，+∞）为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e${\;}^{\frac{1}{4}}$）=$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{1}{2}}$-2e${\;}^{\frac{1}{2}}$•$\frac{1}{4}$=e${\;}^{\frac{1}{2}}$，
故b的最大值为e${\;}^{\frac{1}{2}}$．
故选：A．

点评 本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．