Question

20．半径为2的球内有一底面边长为2的内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），则当该正四棱柱的侧面积最大时球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（　　）

• A． $16（{π-\sqrt{3}}）$
• B． $16（{π-\sqrt{2}}）$
• C． $8（{2π-3\sqrt{2}}）$
• D． $8（{2π-\sqrt{3}}）$

Answer 1

分析 设底面边长为a，高为h，根据球的半径使用勾股定理列出方程，得出a，h的关系，使用基本不等式得出ah的最大值，求出侧面积的最大值，做差即可．

解答 解：设球内接正四棱柱的底面边长为a，高为h，则球的半径r=$\sqrt{\frac{{h}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{2}}$=2，
∴h²+2a²=16≥2$\sqrt{2}$ah，∴ah≤4$\sqrt{2}$．
∴S_侧=4ah≤16$\sqrt{2}$．
球的表面积S=4π×2²=16π．
∴当四棱柱的侧面积最大值时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为16π-16$\sqrt{2}$=16（$π-\sqrt{2}$）．
故选B．

点评 本题考查了四棱柱与外接球的关系，基本不等式的应用，属于中档题．