Question

18．设关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）若a是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，4]任取的一个数，b是从区间[1，4]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析 首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b
（1）本题是一个古典概型，确定试验发生包含的基本事件，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤4，1≤b≤4}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤4，1≤b≤4，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．

解答 解：设事件A为“方程有实根”．
当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b，
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共5×3=15个，事件A中包含12个基本事件，
∴事件A发生的概率为P=$\frac{12}{15}$=$\frac{4}{5}$；
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤4，1≤b≤4}
满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤4，1≤b≤4，a≥b}
∴所求的概率是$\frac{\frac{1}{2}×{3}^{2}}{4×3}$=$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．