Question

19．（1）已知Z是复数，Z+2i，$\frac{Z}{2-i}$均为实数，且复数（Z+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
（2）已知两个向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$对应的复数是z₁=3和z₂=-5+5i，求向量$\vec a$与$\vec b$的夹角．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
（2）根据向量的夹角公式计算即可

解答 解：（1）设z=c+di，则z+2i=c+（d+2）I为实数，
∴d=-2，即z=c-2i，
又$\frac{z}{2-i}=\frac{c-2i}{2-i}=\frac{2c+2+（c-4）i}{5}$为实数，
∴c=4，
∴z=4-2i．
而（z+ai）²=（4-2i+ai）²=16-（2-a）²-8（2-a）i 对应的点在第一象限，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{16-{{（2-a）}^2}＞0}\\{-8（2-a）＞0}\end{array}}\right.$，
解得2＜a＜6．
（2）设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为α，$\overrightarrow a$=（3，0），$\overrightarrow b$=（5，5），
则$cosα=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|}}=\frac{3×（-5）-0×5}{{3•\sqrt{25+25}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵0≤α≤π，
∴α=$\frac{3}{4}$π．

点评 本题考查了复数的几何意义、不等式组的解法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．