Question

14．如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．
（1）求证：BE∥平面ACF
（2）求异面直线AD与CF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD交于O，连OF，则OF为△DEB的中位线，通过OF∥BE，证明BE∥平面ACF；
（2）异面直线AD与CF所成角就是BC与CF所成角，利用余弦定理可求异面直线AD与CF所成角的余弦值．

解答 （1）证明：连接AC，BD交于O，连OF
∵F为DE中点，O为BD中点，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF；
（2）解：∵BC∥AD，
∴异面直线AD与CF所成角就是BC与CF所成角，
∵AE=DE=2，F为线段DE的中点．
∴AD=BC=CD=2$\sqrt{2}$，
∵CF=$\sqrt{8+1}$=3，BF=$\sqrt{8+4+1}$=$\sqrt{13}$，
∴cos∠BCF=$\frac{8+9-13}{2×2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴异面直线AD与CF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查直线和平面平行关系的判定，直线和平面所成角的计算．考查考查空间想象能力、转化、计算、推理论证能力．