Question

9．是否存在实数a，使得函数y=sin²x+acosx在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值为1？若存在，求出相对应的a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 令cosx=t，f（t）=-t²+at+1，令f（t）在[0，1]上的最大值为1解出a即可．

解答 解：y=sin²x+acosx=-cos²x+acosx+1，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
令cosx=t，则t∈[0，1]，
令f（t）=-t²+at+1，
（1）若$\frac{a}{2}$≤0，即a≤0时，f（t）在[0，1]上单调递减，
∴f_max（t）=f（0）=1，符合题意；
（2）若$\frac{a}{2}$≥1，即a≥2时，f（t）在[0，1]上单调递增，
∴f_max（t）=f（1）=a=1，即a=1（舍）；
（3）若0＜$\frac{a}{2}$＜1，即0＜a＜2时，则f（t）在[0，$\frac{a}{2}$）上单调递增，在（$\frac{a}{2}$，1]上单调递减，
∴f_max（x）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1=1，方程无解；
综上，a≤0．

点评 本题考查了三角函数恒等变换，二次函数的性质，换元思想的应用，属于中档题．