Question

4．已知函数$f（x）=sin（{\frac{x}{2}+ϕ}）\;（{ϕ为常数}）$，有以下说法：
①不论ϕ取何值，函数f（x）的周期都是π；
②存在常数ϕ，使得函数f（x）是偶函数；
③函数f（x）在区间[π-2ϕ，3π-2ϕ]上是增函数；
④若ϕ＜0，函数f（x）的图象可由函数$y=sin\frac{x}{2}$的图象向右平移|2ϕ|个单位长度得到．
其中正确的说法有（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ②④
• D． ①④

Answer 1

分析 根据周期公式判断①，利用诱导公式判断②，根据这些函数的单调性判断③，利用函数平移变换规律判断④．

解答 解：对于①，f（x）的周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，故①错误；
对于②，当ϕ=$\frac{π}{2}$时，f（x）=sin（$\frac{x}{2}+\frac{π}{2}$）=cos$\frac{x}{2}$，此时f（x）是偶函数，故②正确；
对于③，f（π-2ϕ）=sin$\frac{π}{2}$=1，f（3π-2ϕ）=sin$\frac{3π}{2}$=-1，
∴函数f（x）在区间[π-2ϕ，3π-2ϕ]上不是增函数，故③错误；
对于④，f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+ϕ）=sin（$\frac{x+2Φ}{2}$），
∵ϕ＜0，∴f（x）的图象可由y=sin$\frac{x}{2}$向右平移|2ϕ|个单位得到，故④正确；
故选C．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．