Question

14．求过点A（2，4）与圆x²+y²=4相切的直线方程．

Answer 1

分析 切线的斜率存在时设过点A的圆的切线斜率为k，写出点斜式方程再化为一般式．根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质，由点到直线的距离公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所设切线方程即可．切线斜率不存在时，直线方程验证即可．

解答 解：将点A（2，4））代入圆的方程得2²+4²=20＞4，∴点P在圆外，
当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，
由点斜式可得切线方程为y-4=k（x-2），即kx-y-2k+4=0，
∴$\frac{|-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$．
故所求切线方程3x-4y+10=0．
当过点A的切线斜率不存在时，方程为x=2，也满足条件．
故所求圆的切线方程为3x-4y+10=0或x=2．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查切线方程．若点在圆外，所求切线有两条，特别注意当直线斜率不存在时的情况，不要漏解．