Question

3．设{a_n}为等差数列，若$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}＜-1$，且它的前n项和S_n有最小值，那么当S_n取得最小正值时，n=20．

Answer 1

分析 由题意可得等差数列{a_n}递增，结合题意可得a₁₁＞0＞a₁₀，进而可得a₁₀+a₁₁＞0，由等差数列的性质结合求和公式可得答案．

解答 解：∵S_n有最小值，∴d＞0，故可得a₁₀＜a₁₁，
又由$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}＜-1$，即$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$+1=$\frac{{a}_{11}+{a}_{10}}{{a}_{10}}$＜0，
又由a₁₀＜a₁₁，则有a₁₀+a₁₁＞0，a₁₀＜0，
S₂₀=10（a₁+a₂₀）=10（a₁₀+a₁₁）＞0，
S₁₉=19a₁₀＜0
∴S₂₀为最小正值；
故答案为：20．

点评 本题为等差数列性质的应用，涉及等差数列前n项和的最值问题，属中档题．