Question

13．设函数$f（x）=|{x-\frac{5}{2}}|+|{x-a}|$，x∈R．
（Ⅰ）当$a=-\frac{1}{2}$时，求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求出f（x）最小值为$|{\frac{5}{2}-a}|$，从而$|{\frac{5}{2}-a}|≥a$，解得$a≤\frac{5}{4}$，即可求实数a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=|{x-\frac{5}{2}}|+|{x+\frac{1}{2}}|$=$\left\{\begin{array}{l}-2x+2，x＜-\frac{1}{2}\\ 3，-\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}\\ 2x-2，x＞\frac{5}{2}\end{array}\right.$
由f（x）≥4得$\left\{\begin{array}{l}x＜-\frac{1}{2}\\-2x+2≥4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{5}{2}\\ 2x-2≥4\end{array}\right.$，解得x≤-1或x≥3，
所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}；
（Ⅱ）由绝对值的性质得$f（x）=|{x-\frac{5}{2}}|+|{x-a}|≥$$|{（{x-\frac{5}{2}}）-（{x-a}）}|=|{a-\frac{5}{2}}|$，
所以f（x）最小值为$|{\frac{5}{2}-a}|$，从而$|{\frac{5}{2}-a}|≥a$，解得$a≤\frac{5}{4}$，因此a的最大值为$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．