Question

4．已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为$\sqrt{2}$，体积为$\frac{4}{3}$，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（　　）

• A． 1：2
• B． 2：5
• C． 1：3
• D． 4：5

Answer 1

分析 取BC中点E，求出PE，HP，可得四棱锥P-ABCD的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥P-ABCD的内切球与外接球的半径之比．

解答 解：取BC中点E，
由题意，正四棱锥P-ABCD的底面边长为$\sqrt{2}$，体积为$\frac{4}{3}$，
∴PE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，HP=2，
从而四棱锥P-ABCD的表面积为S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×4$+$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=8，V=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$=$\frac{4}{3}$，
∴内切球的半径为r=$\frac{1}{2}$．
设四棱锥P-ABCD外接球的球心为O，外接球的半径为R，则OP=OA，
∴（2-R）²+1²=R²，
∴R=$\frac{5}{4}$，
∴棱锥的内切球与外接球的半径之比为2：5．
故选B．

点评 本题考查四棱锥P-ABCD的内切球与外接球的半径之比，考查四棱锥P-ABCD的表面积、体积，考查学生的计算能力，属于中档题．