Question

16．已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F₂垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点，若|OA|+|OB|=2|AB|，且F₂在线段AB上，则双曲线的渐近线斜率为（　　）

• A． $±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． ±2
• C． $±\sqrt{2}$
• D． $±\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由已知AB与x轴交于点F₂，设∠AOF₂=α，则$tanα=\frac{b}{a}$，△AOB中，可得$tan2α=\frac{4}{3}$，$tanα=\frac{1}{2}$，即可求出双曲线的渐近线斜率．

解答 解：由已知AB与x轴交于点F₂，设∠AOF₂=α，
则$tanα=\frac{b}{a}$，△AOB中，可得$tan2α=\frac{4}{3}$，
设|OA|=m-d、|AB|=m、|OB|=m+d，
∵OA⊥BF，∴（m-d）²+m²=（m+d）²，
整理，得d=$\frac{1}{4}$m，△AOB中，∠AOB=2α，tan∠AOB=tan2α=$\frac{|AB|}{|OA|}$=$\frac{4}{3}$
∴$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{3}$，∴$tanα=\frac{1}{2}$，
∴双曲线的渐近线斜率为$±\frac{1}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．