Question

11．已知$sinα=\frac{4}{5}，α∈（{\frac{π}{2}，π}），cosβ=-\frac{5}{13}，β是第三象限角$．
（1）求sin（α-β）的值
（2）求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ，利用两角差的正弦函数公式可求sin（α-β）的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{4}{3}$，tan$β=\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{12}{5}$，利用两角和的正切函数公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$sinα=\frac{4}{5}，α∈（{\frac{π}{2}，π}），cosβ=-\frac{5}{13}，β是第三象限角$
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$，sinβ=-$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{4}{5}×（-\frac{5}{13}）-（-\frac{3}{5}）×（-\frac{12}{13}）$=-$\frac{56}{65}$…（6分）
（2）∵tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{4}{3}$，tan$β=\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{12}{5}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{16}{63}$…（6分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．