Question

3．如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
（Ⅰ）已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h，求2018min时点P距离地面的高度；
（Ⅱ）当离地面50+20$\sqrt{3}$m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求出A、h和ω的值，结合f（0）=10求得φ的值，
写出函数f（x）的解析式，计算t=2018时点P距离地面的高度即可；
（Ⅱ）化简f（t），由f（t）＞50+20$\sqrt{3}$求出t的取值范围，
再由t的区间端点值的差求得一圈中可以看到公园全貌的时间．

解答 解：（Ⅰ）依题意，A=40，h=50，T=3，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{3}$；
又f（0）=10，
∴φ=-$\frac{π}{2}$；
∴f（t）=40sin（$\frac{2π}{3}$t-$\frac{π}{2}$）+50（t≥0）；
∴f（2018）=40sin（$\frac{2π}{3}$×2018-$\frac{π}{2}$）+50=40sin$\frac{5π}{6}$+50=70，
即第2018min时点P所在位置的高度为70m；
（Ⅱ）由（1）知，f（t）=40sin（$\frac{2π}{3}$t-$\frac{π}{2}$）+50=50-40cos（$\frac{2π}{3}$t）（t≥0）；
依题意：f（t）＞50+20$\sqrt{3}$，
∴-40cos（$\frac{2π}{3}$t）＞20$\sqrt{3}$，
∴cos（$\frac{2π}{3}$t）＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得2kπ+$\frac{5π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$t＜2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈N，
即3k+$\frac{5}{4}$＜t＜3k+$\frac{7}{4}$，k∈N；
∵（3k+$\frac{7}{4}$）-（3k+$\frac{5}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∴转一圈中有0.5min时间可以看到公园全貌．

点评 本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数解析式的求法与三角不等式的解法问题，是综合题．