Question

14．若a，b是正数，直线2ax+by-2=0被圆x²+y²=4截得的弦长为2$\sqrt{3}$，则t=a$\sqrt{1+2{b}^{2}}$取得最大值时a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 找出圆心坐标和圆的半径，由直线被圆截取的弦长为2$\sqrt{3}$，可得圆心到直线的距离$\frac{2}{\sqrt{4{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，再利用配方法，即可求出结论．

解答 解：圆的圆心坐标为（0，0），半径r=2，
由直线被圆截取的弦长为2$\sqrt{3}$，可得圆心到直线的距离$\frac{2}{\sqrt{4{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
∴4a²+b²=4，
t=a$\sqrt{1+2{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}（9-8{a}^{2}）}$=$\sqrt{-8（{a}^{2}-\frac{9}{16}）^{2}+\frac{81}{32}}$，
则a=$\frac{3}{4}$时，t=a$\sqrt{1+2{b}^{2}}$取得最大值．
故选D．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，以及配方法的运用，属于中档题．