Question

18．设x，y，z∈R⁺，a=x+$\frac{1}{y}$，b=y+$\frac{1}{z}$，c=z+$\frac{1}{x}$，则a，b，c三数（　　）

• A． 至少有一个不大于2
• B． 都小于2
• C． 至少有一个不小于2
• D． 都大于2

Answer 1

分析 由x，y，z∈R⁺，a=x+$\frac{1}{y}$，b=y+$\frac{1}{z}$，c=z+$\frac{1}{x}$，则a，b，c三数至少有一个不小于2．利用反证法与基本不等式即可证明结论．

解答 解：由x，y，z∈R⁺，a=x+$\frac{1}{y}$，b=y+$\frac{1}{z}$，c=z+$\frac{1}{x}$，则a，b，c三数至少有一个不小于2．
下面利用反证法证明：假设a，b，c三数都小于2．
则6＞a+b+c=x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$≥$2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+2$\sqrt{y•\frac{1}{y}}$+2$\sqrt{z•\frac{1}{z}}$=6，即6＞6，矛盾．
因此原结论正确．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、反证法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．