Question

7．已知曲线y=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（$\frac{π}{8}$，$\sqrt{2}$），此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点 （$\frac{3}{8}$π，0），若φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）试求这条曲线的函数表达式及单调递增区间；
（2）用“五点法”画出（1）中函数在$[{-\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}}]$上的图象．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A、ω、φ的值，写出函数y的解析式，再根据正弦函数的单调性求出y的单调递增区间；
（2）列出x、y的对应值表，再描点、连线，画出函数y的图象即可．

解答 解　（1）由题意知A=$\sqrt{2}$，T=4×（$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{8}$）=π，
ω=$\frac{2π}{T}$=2，
∴y=$\sqrt{2}$sin（2x+φ）；
又∵sin（$\frac{π}{8}$×2+φ）=1，
∴$\frac{π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
又∵φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z；
∴y的单调递增区间为$[{kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}}]，k∈Z$；
（2）列出x、y的对应值表：

x	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3}{8}$π	$\frac{5}{8}$π	$\frac{7}{8}$π
2x+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3}{2}$π	2π
y	0	$\sqrt{2}$	0	-$\sqrt{2}$	0

描点，连线，画出y的图象如图所示：

点评 本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．