Question

19．某厂输出产品x件的总成本$c（x）=1200+\frac{2}{75}{x^2}$（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：$P=\frac{k}{x}$，生产100件这样的产品单价为50万元．
（1）设产量x为件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；
（2）产量x定位多少件时总利润L（x）（万元）最大？并求最大值（精确到1万元）．

Answer 1

分析 （1）由题可知生产100件这样的产品单价为50万元，所以把x=100，P=50代入到p²=$\frac{k}{x}$中求出k的值确定出P的解析式，然后根据总利润=总销售额-总成本得出L（x）即可；
（2）令L′（x）=0求出x的值，此时总利润最大，最大利润为L（25）．

解答 解：（1）由题意有50²=$\frac{k}{100}$，解得k=25×10⁴，∴P=$\sqrt{\frac{25{×10}^{4}}{x}}$=$\frac{500}{\sqrt{x}}$，
∴总利润L（x）=x•$\frac{500}{\sqrt{x}}$-1200-$\frac{{2x}^{3}}{75}$=-$\frac{2}{75}$x³+500$\sqrt{x}$-1200（x＞0）；
（2）由（1）得L′（x）=-$\frac{2}{25}$x²+$\frac{250}{\sqrt{x}}$，令L′（x）=0⇒$\frac{250}{\sqrt{x}}$=$\frac{2}{25}$x²，
令t=$\sqrt{x}$，得 $\frac{250}{t}$=$\frac{2}{25}$t⁴⇒t⁵=125×25=5⁵，∴t=5，于是x=t²=25，
则x=25，所以当产量定为25时，总利润最大．
这时L（25）≈-416.7+2500-1200≈883．
答：产量x定为25件时总利润L（x）最大，约为883万元．

点评 考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，及利用导数求函数最值的方法的能力．