Question

2．已知函数f（x）=x²-ax-alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）当x∈[e，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，由题意可知f′（1）=0，即可求得a的值，
（2）x∈[e，+∞），则x+lnx＞0，由f（x）≥0恒成立，则a≤$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）时恒成立，即a≤（$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$）_min，构造辅助函数，求导，即可求得h（x）的最小值，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）由函数f（x）=x²-ax-alnx，求导f′（x）=2x-a-$\frac{a}{x}$，由题意可得f′（1）=0，解得a=1，经检验，a=1时，在x=1处取得极值，
∴a的值1；                        
（2）由x∈[e，+∞）知，x+lnx＞0，
∴f（x）≥0恒成立等价于a≤$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）时恒成立，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，x∈[e，+∞），求导g′（x）=$\frac{x（x-1+2lnx）}{（x+lnx）^{2}}$＞0，
∴h（x）在[e，+∞）上是增函数，则h（x）≥h（e）=$\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$，
∴a≤$\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$，
a的取值范围（-∞，$\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$]．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查转化思想，属于中档题．