Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期； 
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．
（3）求f（x）的单调区间；
（4）求f（x）的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析 （1）化函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期；
（2）根据x的取值范围，求出f（x）的最大值和最小值；
（3）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的单调递增区间和单调递减区间；
（4）根据正弦函数的对称性，求出f（x）的对称轴和对称中心．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{1}{2}$sin2x=$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；    …（3分）
（2）∵-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{4}$，所以0≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，即x=$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值为1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当2x+$\frac{π}{3}$=0时，即x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；…（6分）
（3）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
∴f（x）的单调递增区间是$[{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]（{k∈Z}）$；
同理，f（x）的单调递减区间是[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）；…（10分）
（4）令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
∴f（x）的对称轴为x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∴f（x）的对称中心为（$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$，0）． …（12分）

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是综合题．