Question

4．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），圆M：（x-2）²+y²=4，圆心M到抛物线准线的距离为3，点P（x₀，y₀）（x₀≥5）是抛物线在第一象限上的点，过点P作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求△PAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题知$2+\frac{p}{2}=3，\;\;p=2$，即可得到抛物线方程；
（2）设切线方程为：y-y₀=k（x-x₀），可得切线与x轴的交点为$（{{x_0}-\frac{y_0}{k}，\;\;0}）$，
圆心（2，0）到切线的距离为2，得：$（x_0^2-4{x_0}）{k^2}+（4{y_0}-2{x_0}{y_0}）k+y_0^2-4=0$．
设两条切线的斜率分别为k₁，k₂，则${k_1}+{k_2}=\frac{{2{x_0}{y_0}-4{y_0}}}{{x_0^2-4{x_0}}}，\;\;{k_1}\;•\;{k_2}=\frac{y_0^2-4}{{x_0^2-4{x_0}}}$，
∴${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|{（{{x_0}-\frac{y_0}{k_1}}）-（{{x_0}-\frac{y_0}{k_2}}）}|\;•\;{y_0}=\frac{1}{2}y_0^2|{\frac{{{k_1}-{k_2}}}{{{k_1}{k_2}}}}|=2\frac{x_0^2}{{{x_0}-1}}$=$2\frac{{{{（{x_0}-1）}^2}+2（{x_0}-1）+1}}{{{x_0}-1}}=2[{（{x_0}-1）+\frac{1}{{{x_0}-1}}+2}]$．
根据x₀≥5可求得△PAB面积的最小值为$\frac{25}{2}$．

解答 解：（　　）由题知$2+\frac{p}{2}=3，\;\;p=2$，
所以抛物线方程为：y²=4x．   …（4分）
（2）设切线方程为：y-y₀=k（x-x₀），令y=0，解得$x={x_0}-\frac{y_0}{k}$，
所以切线与x轴的交点为$（{{x_0}-\frac{y_0}{k}，\;\;0}）$，
圆心（2，0）到切线的距离为$d=\frac{{|2k+{y_0}-k{x_0}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，
∴${（2k+{y_0}-k{x_0}）^2}=4（{k^2}+1）$，
整理得：$（x_0^2-4{x_0}）{k^2}+（4{y_0}-2{x_0}{y_0}）k+y_0^2-4=0$．
设两条切线的斜率分别为k₁，k₂，
则${k_1}+{k_2}=\frac{{2{x_0}{y_0}-4{y_0}}}{{x_0^2-4{x_0}}}，\;\;{k_1}\;•\;{k_2}=\frac{y_0^2-4}{{x_0^2-4{x_0}}}$，
∴${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|{（{{x_0}-\frac{y_0}{k_1}}）-（{{x_0}-\frac{y_0}{k_2}}）}|\;•\;{y_0}=\frac{1}{2}y_0^2|{\frac{{{k_1}-{k_2}}}{{{k_1}{k_2}}}}|=2\frac{x_0^2}{{{x_0}-1}}$
=$2\frac{{{{（{x_0}-1）}^2}+2（{x_0}-1）+1}}{{{x_0}-1}}=2[{（{x_0}-1）+\frac{1}{{{x_0}-1}}+2}]$．
记t=x₀-1∈[4，+∞），则$f（t）=t+\frac{1}{t}+2$．
∵$f'（t）=1-\frac{1}{t^2}=\frac{{{t^2}-1}}{t^2}＞0$，∴f（t）在[4，+∞）上单增，
∴$f（t）≥4+\frac{1}{4}+2=\frac{25}{4}$，∴${S_{△PAB}}≥2×\frac{25}{4}=\frac{25}{2}$，
∴△PAB面积的最小值为$\frac{25}{2}$．  …（12分）

点评 本题考查了抛物线的方程，直线与圆的位置关系，三角形的面积最值计算，属于中档题．