Question

13．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为边AB的中点，且CC₁=2AB．
（1）求证：平面C₁CD⊥平面ADC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥D-CAB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出CC₁⊥AB，CD⊥AB，从而AB⊥平面C₁CD，由此能证明平面C₁CD⊥平面ADC₁．
（2）连结BC₁，交B₁C于点O，连结DO．则DO∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面CDB₁．
（3）三棱锥D-CAB₁的体积${V}_{D-CA{B}_{1}}={V}_{{B}_{1}-CBD}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵CC₁⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴CC₁⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，CD为AB边上的中线，
∴CD⊥AB，（2分）
∵CD∩CC₁=C，∴AB⊥平面C₁CD，
∵AB?平面ADC₁，
∴平面C₁CD⊥平面ADC₁．
（2）连结BC₁，交B₁C于点O，连结DO．
则O是BC₁的中点，DO是△BAC₁的中位线．
∴DO∥AC₁．
∵DO?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．（8分）
解：（3）∵CC₁⊥平面ABC，BB₁∥CC₁，
∴BB₁⊥平面ABC．
∴BB₁ 为三棱锥D-CBB₁ 的高．
∴三棱锥D-CAB₁的体积：
${V}_{D-CA{B}_{1}}={V}_{{B}_{1}-CBD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×8$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
∴三棱锥D-CAB₁的体积为$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．