Question

4．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB=1米，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F．设∠AOE=θ弧度，小球从A到F所需时间为T．
（1）试将T表示为θ的函数T（θ），并写出定义域；
（2）求时间T最短时cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）通过过点O作OG⊥BC于G，利用OG=1、$OF=\frac{OG}{sinθ}=\frac{1}{sinθ}$、$EF=1+\frac{1}{sinθ}$、弧AE=θ及时间、路程与速度之间的关系即得结论；
（2）通过（1）求导，利用函数的单调性即得结论．

解答 解：（1）过O作OG⊥BC于G，则OG=1，$OF=\frac{OG}{sinθ}=\frac{1}{sinθ}$，$EF=1+\frac{1}{sinθ}$，
弧AE=θ，
所以$T（θ）=\frac{弧AE}{5v}+\frac{EF}{6v}=\frac{θ}{5v}+\frac{1}{6vsinθ}+\frac{1}{6v}$，$θ∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$．…（7分）
（2）$T（θ）=\frac{θ}{5v}+\frac{1}{6vsinθ}+\frac{1}{6v}$，$T'（θ）=\frac{1}{5v}-\frac{cosθ}{{6v{{sin}^2}θ}}=\frac{{6{{sin}^2}θ-5cosθ}}{{30v{{sin}^2}θ}}=-\frac{（2cosθ+3）（3cosθ-2）}{{30v{{sin}^2}θ}}$，…（10分）
记$cos{θ_0}=\frac{2}{3}$，${θ_0}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，

θ	$（\frac{π}{4}，{θ_0}）$	θ0	$（{θ_0}，\frac{3π}{4}）$
T'（θ）	-	0	+
T（θ）	减		增

故当$cosθ=\frac{2}{3}$时，时间T最短．                                   …（16分）

点评 本题考查根据实际问题选择函数类型，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．