Question

19．是否存在实数a，使得函数y=cos²x+asinx+$\frac{5a}{8}$-$\frac{5}{2}$在闭区间[0，π]的最大值是0？若存在，求出对应的a的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 化简函数f（x），令sinx=t，t∈[0，1]，求出f（t）在t∈[0，1]的最大值函数g（a），再令g（a）=0，求对应a的值是否存在即可．

解答 解：∵y=cos²x+asinx+$\frac{5a}{8}$-$\frac{5}{2}$=-sin²x+asinx+$\frac{5a}{8}$-$\frac{3}{2}$，
令sinx=t，t∈[0，1]，
∴f（t）=-t²+at+$\frac{5a}{8}$-$\frac{3}{2}$，对称轴为t=$\frac{1}{2}$a，
①当a≤0时，函数f（t）在[0，1]上是减函数，
∴f（t）的最大值是g（a）=f（0）=$\frac{5a}{8}$-$\frac{3}{2}$=0，解得a=$\frac{12}{5}$，不符合题意，
②当a≥2时，函数f（t）在[0，1]上是增函数，
∴f（x）的最大值是g（a）=f（1）=$\frac{13a}{8}$-$\frac{5}{2}$=0，解得a=$\frac{20}{13}$，不符合题意，
③当0＜a＜2时，f（x）在x∈[0，1]的最大值是g（$\frac{1}{2}$a）=f（$\frac{1}{2}$a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{5a}{8}$-$\frac{3}{2}$=0，
解得a=-4（舍去），或a=$\frac{3}{2}$．
综上，存在a=$\frac{3}{2}$时，函数在闭区间[0，π]上的最大值是0．

点评 本题考查了二次函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论的数学思想，其中求出最大值函数 g（a）是解题的关键，属于中档题．