Question

7．已知函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$+ax，x＞1．
（1）若函数f（x）在$x={e^{\frac{1}{2}}}$处取得极值，求a的值；
（2）若方程（2x-m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出a的值，检验即可；
（2）整理得$\frac{x}{lnx}$+2x=m，即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，由f（x）=$\frac{x}{lnx}$+2x的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{lnx-1}{{ln}^{2}x}$+a，由题可知${f^/}（{e^{\frac{1}{2}}}）=0⇒a=2$，
经检验a=2，符合题意；
（2）将方程（2x-m）lnx+x=0两边同除lnx得（2x-m）+$\frac{x}{lnx}$=0，
整理得$\frac{x}{lnx}$+2x=m，即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点
f（x）=$\frac{x}{lnx}$+2x，f′（x）=$\frac{lnx-1+{2ln}^{2}x}{{ln}^{2}x}$，
令f′（x）=0得2ln²x+lnx-1=0，
解得：lnx=$\frac{1}{2}$或lnx=-1（舍），即x=$\sqrt{e}$，
当1＜x＜$\sqrt{e}$时，f′（x）＜0，当x＞$\sqrt{e}$时，f′（x）＞0，
可知，f（x）在（1，$\sqrt{e}$）上单调递减，在（$\sqrt{e}$，e）上单调递增，
f（$\sqrt{e}$）=4$\sqrt{e}$，f（e）=3e，当x→1时，$\frac{x}{lnx}$→+∞，∴4$\sqrt{e}$＜m≤3e，
实数m的取值范围为（4$\sqrt{e}$，3e]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．