Question

16．若函数f（x）满足f（4）=2，且对于任意正数x₁，x₂，都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立．则f（x）可能为（　　）

• A． $f（x）=\sqrt{x}$
• B． $f（x）=\frac{x}{2}$
• C． f（x）=log₂x
• D． f（x）=2^x

Answer 1

分析 对A、B、C、D中的四种基本初等函数的运算性质逐一分析即可得到答案．

解答 解：对于A，∵$f（x）=\sqrt{x}$，∴f（x₁•x₂）=$\sqrt{{x}_{1}{•x}_{2}}$≠$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$，故A错误；
对于B，$f（x）=\frac{x}{2}$，同理可得f（x₁•x₂）≠f（x₁）+f（x₂），故B错误；
对于C，∵f（x）=log₂x，∴f（x₁•x₂）=log₂（x₁•x₂）=log₂（x₁）+log₂（x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立．故C正确；
对于D，∵f（x）=2^x，∴f（4）=2⁴=16≠2，故D错误．
故选：C．

点评 本题考查抽象函数及其应用，突出考查基本初等函数的运算性质，属于中档题．