Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+a₅=17．
（1）若{a_n}还同时满足：
①{a_n}为等比数列；②a₂a₄=16；③对任意的正整数n，a_2n＜a_2n+2，试求数列{a_n}的通项公式．
（2）若{a_n}为等差数列，且S₈=56．
①求该等差数列的公差d；②设数列{b_n}满足b_n=3ⁿ•a_n，则当n为何值时，b_n最大？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的性质可得a₁a₅=16，又a₁+a₅=17，即可求出a₁，a₅的值，继而求出公比，写出通项公式即可
（2）①{a_n}为等差数列，且a₁+a₅=17，S₈=56，建立方程组，即可求得该等差数列的公差d；②确定数列{b_n}的通项，判断其单调性，即可求得b_n最大值

解答 解：（1）因为{a_n}是等比数列，则a₂a₄=a₁a₅=16，又a₁+a₅=17，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{5}=16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=16}\\{{a}_{5}=1}\end{array}\right.$
从而a_n=2^n-1或a_n=（-2）^n-1或a_n=16×（$\frac{1}{2}$）^n-1或a_n=16×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
由③得，a_n=2^n-1或a_n=16×（$\frac{1}{2}$）^n-1  
（2）①由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+4d=17}\\{8{a}_{1}+28d=56}\end{array}\right.$，解得d=-1
②由①知a₁=$\frac{21}{2}$，所以an=$\frac{23}{2}$-n，则b_n=3ⁿ•a_n=3ⁿ•（$\frac{23}{2}$-n），
因为b_n+1-b_n=2×3ⁿ×（10-n）
所以b₁₁=b₁₀，且当n≤10时，数列{b_n}单调递增，当n≥11时，数列{b_n}单调递减，
故当n=10或n=11时，b_n最大．

点评 本题考查等差数列的通项，考查数列的单调性，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．