Question

6．设函数f（x）=x²-xlnx+2，若存在区间$[{a，b}]⊆[{\frac{1}{2}，+∞}）$，使f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，则k的取值范围为（1，$\frac{9+2ln2}{10}$）．

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性得出f（x）=k（x+2）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范围．

解答 解：f′（x）=2x-lnx+1，f″（x）=2-$\frac{1}{x}$，
∴当x≥$\frac{1}{2}$时，f″（x）≥0，
∴f′（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥f′（$\frac{1}{2}$）=2-ln$\frac{1}{2}$＞0，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
∵[a，b]⊆[$\frac{1}{2}$，+∞），
∴f（x）在[a，b]上单调递增，
∵f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=k（a+2）}\\{f（b）=k（b+2）}\end{array}\right.$，∴方程f（x）=k（x+2）在[$\frac{1}{2}$．+∞）上有两解a，b．
作出y=f（x）与直线y=k（x+2）的函数图象，则两图象有两交点．

若直线y=k（x+2）过点（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}+\frac{1}{2}ln2$），则k=$\frac{9+2ln2}{10}$，
若直线y=k（x+2）与y=f（x）的图象相切，设切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k（{x}_{0}+2）}\\{{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}ln{x}_{0}+2}\\{2{x}_{0}-ln{x}_{0}+1=k}\end{array}\right.$，解得k=1．
∴1＜k＜$\frac{9+2ln2}{10}$．
故答案为：（1，$\frac{9+2ln2}{10}$）．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．