Question

17．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1
（1）若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ为45°，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值．

Answer 1

分析 （1）应用平面向量数量积的公式，求出两向量的夹角大小；
（2）求平面向量的模长时，通常先求向量的平方值，再开方，可得模长大小．

解答 解：（1）因为|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，
且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|×cosθ=1，
所以cosθ=$\frac{1}{\sqrt{2}×1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因为向量的夹角范围是0°≤θ≤180°，
所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为45°；
（2）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ为45°，
所以${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=${（\sqrt{2}）}^{2}$-2×$\sqrt{2}$×1×cos45°+1²=1，
所以求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1．

点评 本题考查了平面向量的数量积与夹角、模长的计算问题，是基础题．