Question

9．已知函数$f（x）=\frac{x+1}{x^2}，g（x）={log_2}x+m$，若对?x₁∈[1，2]，?x₂[1，4]，使得f（x₁）≥g（x₂），则m的取值范围是（-∞，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 求出f（x）和g（x）的最小值，令f_min（x）≥g_min（x），即可得出m的范围．

解答 解：f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2x（x+1）}{{x}^{4}}$=$\frac{-x（x+2）}{{x}^{4}}$，
∴当1≤x≤2时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，2]上单调递减，
又g（x）在[1，4]上单调递增，
∴f_min（x）=f（2）=$\frac{3}{4}$，g_min（x）=g（1）=m，
∵对?x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，4]，使得f（x₁）≥g（x₂），
∴f_min（x）≥g_min（x），即m≤$\frac{3}{4}$，
故答案为：（-∞，$\frac{3}{4}$]

点评 本题考查了函数的单调性与最值，函数存在性问题研究，属于中档题．