Question

4．设数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知利用递推公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}{-S}_{n-1}，n≥2，n∈N*}\end{array}\right.$可得a_n，代入分别可求数列b_n的首项b₁，公比q，从而可求b_n．

解答 解：当n=1时，a₁=S₁=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
上式对n=1也成立，
故{a_n}的通项公式为a_n=4n-2．即{a_n}是a₁=2，公差d=4的等差数列．
设{b_n}的公比为q，
由a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，
可得b₁qd=b₁，又d=4，
可得q=$\frac{1}{4}$．
故b_n=b₁q^n-1=2×$\frac{1}{{4}^{n-1}}$，即{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{2}{{4}^{n-1}}$，n∈N*．

点评 当已知条件中含有s_n时，一般会用结论a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}{-S}_{n-1}，n≥2，n∈N*}\end{array}\right.$来求通项，一般有两种类型：①所给的S_n=f（n），则利用此结论可直接求得n＞1时数列{a_n}的通项，但要注意检验n=1是否适合②所给的S_n是含有a_n的关系式时，则利用此结论得到的是一个关于a_n的递推关系，再用求通项的方法进行求解．