Question

15．观察如图三角形数表，假设第n行第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）归纳出a_n+1与a_n的关系式，并求出a_n（n≥2，n∈N^*）的通项公式；
 （2）设（a_n-1）b_n=1（n≥2），S_n=b₂+b₃+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”，则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（2）根据裂项求和即可求出S_n．

解答 解：（1）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2．
所以：a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，a_n-a_n-1=n-1，
累加得a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1）（n-2），
所以a_n=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$，（n＞2）
当n=2时a₂=2，也满足上述等式，
故${a_n}=\frac{{{n^2}-n+2}}{2}（n≥2）$；
（2）∵（a_n-1）b_n=1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2}{n（n-1）}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴S_n=b₂+b₃+…+b_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=2-$\frac{2}{n}$

点评 本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，以及裂项求和，属中档题．